Tugas 1 Kalkulus/Aljabar: Operasi Aljabar pada Bentuk Akar dan Perpangkatan

1. \(\frac{a^5 b^2 e^{-5} d^3 c^5}{a^2 b^{-3} c^4}\)

Gunakan sifat pembagian eksponen: \(\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}\). \[ = a^{5-2} \cdot b^{2-(-3)} \cdot c^{5-4} \cdot d^3 \cdot e^{-5} \] \[ = a^3 \cdot b^{2+3} \cdot c^1 \cdot d^3 \cdot e^{-5} \] \[ = a^3 b^5 c d^3 e^{-5} \quad \text{atau} \quad \frac{a^3 b^5 c d^3}{e^5} \]

2. \((a^2 b^{-2} e^4 d^3 e^{-5})(2 a^3 b^{-4} e^{-2} d^4)\)

Gunakan sifat perkalian eksponen: \(x^m \cdot x^n = x^{m+n}\). Gabungkan variabel yang sejenis. \[ = (1 \cdot 2) \cdot a^{2+3} \cdot b^{-2+(-4)} \cdot e^{4+(-5)+(-2)} \cdot d^{3+4} \] \[ = 2 \cdot a^5 \cdot b^{-6} \cdot e^{-3} \cdot d^7 \] \[ = 2 a^5 b^{-6} e^{-3} d^7 \quad \text{atau} \quad \frac{2 a^5 d^7}{b^6 e^3} \]

3. \((a^5 b^3 + a e^4)(a^2 b^{-2} - d e^{-3})\)

Gunakan sifat distributif (perkalian pelangi/FOIL). \[ = (a^5 b^3 \cdot a^2 b^{-2}) - (a^5 b^3 \cdot d e^{-3}) + (a e^4 \cdot a^2 b^{-2}) - (a e^4 \cdot d e^{-3}) \] \[ = a^7 b^1 - a^5 b^3 d e^{-3} + a^3 b^{-2} e^4 - a d e^{4-3} \] \[ = a^7 b - a^5 b^3 d e^{-3} + a^3 b^{-2} e^4 - a d e \]

4. \((a^2 b + a^3 e)^2\)

Gunakan rumus binomial kuadrat: \((x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2\). \[ = (a^2 b)^2 + 2(a^2 b)(a^3 e) + (a^3 e)^2 \] \[ = a^4 b^2 + 2 a^{2+3} b e + a^6 e^2 \] \[ = a^4 b^2 + 2 a^5 b e + a^6 e^2 \]

5. \((a^3 b^2 - a b^3)^2\)

Gunakan rumus binomial kuadrat: \((x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2\). \[ = (a^3 b^2)^2 - 2(a^3 b^2)(a b^3) + (a b^3)^2 \] \[ = a^6 b^4 - 2 a^{3+1} b^{2+3} + a^2 b^6 \] \[ = a^6 b^4 - 2 a^4 b^5 + a^2 b^6 \]

6. \((a^2 b^2 + e^2 d^3)^3\)

Gunakan rumus binomial pangkat tiga: \((x+y)^3 = x^3 + 3x^2 y + 3xy^2 + y^3\). \[ = (a^2 b^2)^3 + 3(a^2 b^2)^2(e^2 d^3) + 3(a^2 b^2)(e^2 d^3)^2 + (e^2 d^3)^3 \] \[ = a^6 b^6 + 3(a^4 b^4)(e^2 d^3) + 3(a^2 b^2)(e^4 d^6) + e^6 d^9 \] \[ = a^6 b^6 + 3 a^4 b^4 e^2 d^3 + 3 a^2 b^2 e^4 d^6 + e^6 d^9 \]

7. \((a b^{-2} - a^2 e)^3\)

Gunakan rumus binomial pangkat tiga: \((x-y)^3 = x^3 - 3x^2 y + 3xy^2 - y^3\). \[ = (a b^{-2})^3 - 3(a b^{-2})^2(a^2 e) + 3(a b^{-2})(a^2 e)^2 - (a^2 e)^3 \] \[ = a^3 b^{-6} - 3(a^2 b^{-4})(a^2 e) + 3(a b^{-2})(a^4 e^2) - a^6 e^3 \] \[ = a^3 b^{-6} - 3 a^4 b^{-4} e + 3 a^5 b^{-2} e^2 - a^6 e^3 \]

8. \(\frac{\sqrt{a^5 b^2 e^5}}{\sqrt{a^3 b^{-2} e^4}}\)

Gabungkan ke dalam satu akar terlebih dahulu, lalu gunakan sifat pembagian eksponen. \[ = \sqrt{\frac{a^5 b^2 e^5}{a^3 b^{-2} e^4}} \] \[ = \sqrt{a^{5-3} \cdot b^{2-(-2)} \cdot e^{5-4}} \] \[ = \sqrt{a^2 \cdot b^4 \cdot e^1} \] Keluarkan faktor yang berpangkat genap dari dalam akar: \[ = a \cdot b^2 \cdot \sqrt{e} \] \[ = a b^2 \sqrt{e} \]

9. \((\sqrt{a b^2} + \sqrt{e d})^2\)

Gunakan rumus binomial kuadrat: \((x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2\). \[ = (\sqrt{a b^2})^2 + 2(\sqrt{a b^2})(\sqrt{e d}) + (\sqrt{e d})^2 \] Ingat bahwa \((\sqrt{x})^2 = x\) dan \(\sqrt{a b^2} = b\sqrt{a}\). \[ = a b^2 + 2(b\sqrt{a})(\sqrt{e d}) + e d \] \[ = a b^2 + 2 b \sqrt{a e d} + e d \]

10. \((3 a^2 b - 4 e^2 d)^3\)

Gunakan rumus binomial pangkat tiga: \((x-y)^3 = x^3 - 3x^2 y + 3xy^2 - y^3\). Di sini \(x = 3a^2b\) dan \(y = 4e^2d\). \[ = (3 a^2 b)^3 - 3(3 a^2 b)^2(4 e^2 d) + 3(3 a^2 b)(4 e^2 d)^2 - (4 e^2 d)^3 \] \[ = 27 a^6 b^3 - 3(9 a^4 b^2)(4 e^2 d) + 3(3 a^2 b)(16 e^4 d^2) - 64 e^6 d^3 \] \[ = 27 a^6 b^3 - 108 a^4 b^2 e^2 d + 144 a^2 b e^4 d^2 - 64 e^6 d^3 \]

11. \((\sqrt{a b} + \sqrt{e d})(\sqrt{2 a^2 b} - \sqrt{e a})\)

Gunakan sifat distributif (perkalian pelangi/FOIL). \[ = (\sqrt{a b} \cdot \sqrt{2 a^2 b}) - (\sqrt{a b} \cdot \sqrt{e a}) + (\sqrt{e d} \cdot \sqrt{2 a^2 b}) - (\sqrt{e d} \cdot \sqrt{e a}) \] Gabungkan akar-akar yang sejenis: \(\sqrt{x} \cdot \sqrt{y} = \sqrt{x y}\) \[ = \sqrt{2 a^3 b^2} - \sqrt{a^2 b e} + \sqrt{2 a^2 b e d} - \sqrt{a e^2 d} \] Sederhanakan dengan mengeluarkan kuadrat sempurna dari dalam akar: \[ = ab\sqrt{2a} - a\sqrt{be} + a\sqrt{2bed} - e\sqrt{ad} \]